Alice 和 Bob 正在玩这样的卡牌游戏。这个游戏使用多组除去大小王的标准扑克牌，每组标准扑克牌包含 A, 2-10, J, Q, K 共 13 张牌。我们将 A 视作 1，J, Q, K 视作 10。对于任意一组手牌，我们定义手牌的价值为手牌点数相加对 10 取余的结果。例如，6, 7, Q 这组手牌的价值为 (6+7+10) mod 10=3。

我们不妨假设游戏使用无限组标准扑克牌。游戏如下进行：

  • 第一阶段，Alice 和 Bob 分别获得两张牌，他们分别只能看到自己的牌。
  • 第二阶段，如果 Alice 和 Bob 中任何一人的手牌价值为 8 或 9，则比较两人手牌的价值大小，手牌价值大者胜出。手牌价值相同则为平局。
    • 如果游戏在此阶段结束，称为“例牌”（Natural）。
  • 第三阶段，Alice 选择是否获得第三张牌。如果 Alice 选择获得第三张牌，则 Alice 和 Bob 都可以看到第三张牌的点数。
    • 获得第三张牌的动作叫“补牌”（Hit）。反之则称为“不补牌”（Stand）。
  • 第四阶段，Bob 选择是否获得第三张牌。
  • 最后，比较两人手牌的价值大小，手牌价值大者胜出。手牌价值相同则为平局。

我们关心上述游戏中 Alice 和 Bob 的最佳策略。

Alice 的策略相对简单。Alice 只在第三阶段做出选择。在第三阶段，Alice 能获得的信息只有自己的手牌。

Bob 只在第四阶段做出选择。在第四阶段，Bob 能获得的信息有：自己的手牌，以及第三阶段中 Alice 的行动。因此，Bob 的策略将由自己的手牌、Alice 是否选择补牌、Alice 的第三张牌的点数决定。

一个非常著名的策略（我们称之为标准策略）如下：

如果 Alice 的手牌价值小于等于 5，则她选择补牌；否则她不补牌。

如果 Alice 不补牌，Bob 的补牌策略和 Alice 相同。

如果 Alice 补牌，Bob 执行如下策略：

  • 如果 Bob 的手牌价值小于等于 2，则无论 Alice 的第三张牌为何，Bob 都选择补牌。
  • 如果 Bob 的手牌价值为 3，则仅当 Alice 的第三张牌为 8 时，Bob 不补牌。
  • 如果 Bob 的手牌价值为 4，则仅当 Alice 的第三张牌为 2,3,4,5,6,7 时，Bob 补牌。
  • 如果 Bob 的手牌价值为 5，则仅当 Alice 的第三张牌为 4,5,6,7 时，Bob 补牌。
  • 如果 Bob 的手牌价值为 6，则仅当 Alice 的第三张牌为 6,7 时，Bob 补牌。
  • 如果 Bob 的手牌价值为 7，那么他总是选择不补牌。

计算表明，该策略下，Bob 的胜率为 375,853/742,586 约等于 50.614%。

我们不加证明地陈述以下事实：

上述游戏的纳什均衡策略是混合策略。

Bob 可以选择改变自己的策略，如果 Alice 不补牌且 Bob 的手牌价值为 6，Bob 也补牌（策略 B）。这样改变策略会让 Bob 的胜率提高约 0.07%。但那也不是均衡策略：如果 Bob 改变成那种策略，Alice 可以选择在手牌价值为 5 时不补牌（策略 A），这样改变策略会让 Bob 的胜率下降约 0.24%（相比前述标准策略下降约 0.17%）。

事实上，标准策略是均衡策略中出现概率较大的纯策略。搜寻一个游戏的纳什均衡策略是 Quasi-P 问题，这里的问题规模是每位玩家的策略数。Bob 的策略有 2^90 种，显然不可能计算。但如果让 Bob 的策略中 Alice 补牌的情况下的策略等于标准策略，那么可以证明，纳什均衡策略如下：Alice 以约 80% 的概率执行标准策略，约 20% 的概率执行策略 A；Bob 以约 60% 的概率执行标准策略，约 40% 的概率执行策略 B。这会让 Bob 的胜率相比标准策略上升约 0.02%。

关于 Bob 在 Alice 补牌的情况下的策略，我们只讨论 Alice 的策略是纯策略的情况下 Bob 的最优策略。

如果 Alice 执行标准策略，Bob 对标准策略做如下修改可以略微提高胜率：当 Bob 的手牌价值为 4，Alice 的第三张牌为 1 时，Bob 也补牌。

如果 Alice 执行策略 A，Bob 对标准策略做如下修改可以略微提高胜率：当 Bob 的手牌价值为 3，并且 Alice 的第三张牌为 9，或者 Bob 的手牌价值为 5，并且 Alice 的第三张牌为 4 时，Bob 不补牌。

这些改变对策略的影响大约在 0.001% 左右。对这些策略进行手工分析或者代码分析都过于困难，因此我们不做分析。

那么，为什么要讨论这个特定的卡牌游戏呢？也许你应当去澳门、拉斯维加斯或者（字面意义上的）蒙特卡洛寻找答案。那里通常进行这个卡牌游戏的另一种变体，即所有人必须按照标准策略行动。这一标准策略十分复杂，因此分析为什么标准策略是如上所述的策略非常有趣。结论是，标准策略确实很标准，以这样的方式：标准策略是纳什均衡策略中出现概率较大的纯策略（也许是最大，但我们并没有进行分析）。

另外，不建议将金钱投入任何期望亏损的地方！